Версия для печати
Убрать все задачи

---

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

   Решение

---

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить N дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает):

Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались?
Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

   Решение

---

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108009  (#1)

Темы:   [ Треугольник (построения) ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Метод ГМТ ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98276  (#2)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108008  (#3)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что  PA = PK  и  QA = QK.
Докажите, что  ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98278  (#4)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Теория алгоритмов ] [ Ориентированные графы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В компанию из n человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
  а) Может ли журналист установить, кто из компании есть Z, задав менее n вопросов?
  б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98279  (#5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Невыпуклые многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями