- Региональный этап (26 задач)
- Заключительный этап (22 задачи)
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.
В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы AK и BL . Углы BAK и CBL равны 30o . Найдите углы треугольника ABC .
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов. При этом все квадраты одинаковы и стороны каждого белого квадрата параллельны сторонам красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так, что оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать целиком красный квадрат?
Комментарий. Во фразе "все квадраты одинаковы" имеется в виду, что все белые квадраты имеют тот же размер, что и красный.
Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых
согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными
шестерёнками были не меньше 150°? При этом:
для простоты шестёренки считаются кругами;
шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами
их окружностей, проведёнными в точку касания;
первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с
третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.
Докажите, что если
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .
Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром, равным a .
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите объём пирамиды.
Точки O1 и O2 – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Описанные окружности треугольников ABC и O1O2A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O1O2A.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
Задача 109917 (#97.4.10.5) |
|
|
Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.
|
|
Решение |
Задача 109918 (#97.4.10.6) |
|
|
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?
б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?
|
|
|
Решение |
Задача 108180 (#97.4.10.7) |
|
Точки O1 и O2 – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Описанные окружности треугольников ABC и O1O2A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O1O2A.
|
|
Решение |
Задача 109920 (#97.4.10.8) |
|
|
Докажите, что если
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .
|
|
|
Решение |
Задача 109913 (#97.4.11.1) |
|
|
Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
1) проверять, равны ли выбранные два числа,
2) складывать выбранные числа,
3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения x² + ax + b = 0, а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]
