Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Последовательность (an) задана условиями a1= 1000000 , an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
Докажите, что если a, b, c – положительные числа и ab + bc + ca > a + b + c, то a + b + c > 3.
Дан угол с вершиной B. Возьмём произвольную равнобедренную трапецию, боковые стороны которой лежат на сторонах данного угла. Через две противоположные её вершины проведём касательные к описанной около неё окружности. Через M обозначим точку пересечения этих касательных. Какую фигуру образуют все такие точки M?
Верно ли, что из произвольного треугольника можно вырезать три равные фигуры, площадь каждой из которых больше четверти площади треугольника?
Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, что при одновременной замене всех букв a на aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если AB = AE = ED = 1, то BC + CD < 1.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 108200 (#94.4.10.3) |
|
Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF – в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите, что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.
|
|
Решение |
Задача 109583 (#94.4.10.4) |
|
|
Прямоугольник m×n разрезан на уголки:
|
|
|
Решение |
Задача 60470 (#94.4.10.5) |
|
|
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 109585 (#94.4.10.6) |
|
|
Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P(19) = P(94) = 1994.
|
|
|
Решение |
Задача 108201 (#94.4.10.7) |
|
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если AB = AE = ED = 1, то BC + CD < 1.
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
