Версия для печати
Убрать все задачи

---

Расстоянием между двумя произвольными вершинами дерева будем называть длину простого пути, соединяющего их. Удалённостью вершины дерева назовём сумму расстояний от неё до всех остальных вершин. Докажите, что в дереве, у которого есть две вершины с удалённостями, отличающимися на 1, нечётное число вершин.

   Решение

---

В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM. Найдите угол MBC.

   Решение

---

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109561  (#94.5.10.5)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство   [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109562  (#94.5.10.6)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Функции  f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар  (x, y),  для которых
f(x) = g(y),  через n – число пар, для которых  f(x) = f(y),  а через k – число пар, для которых g(x) = g(y).  Докажите, что  2m ≤ n + k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108205  (#94.5.10.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109564  (#94.5.10.8)

Темы:   [ Отношение порядка ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5 Классы: 10

В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если A учится лучше B, а тот – лучше C, то A учится лучше C.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109551  (#94.5.11.1)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Даны такие натуральные числа a и b, что число  ^a+1/_b + ^b+1/_a  является целым.
Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа   .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями