Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Вниз   Решение


Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число.
Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

ВверхВниз   Решение


Даны числа а1, ..., аn.
Для 1 ≤ in положим

di = MAX { aj | 1 ≤ ji } - MIN { aj | ijn }
d = MAX { di | 1 ≤ in }

а) Доказать, что для любых x1x2 ≤ ... ≤ xn выполняется неравенство

MAX { |xi - ai| | 1 ≤ in } ≥ d/2.


б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi} i=1...n

ВверхВниз   Решение


Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?

ВверхВниз   Решение


Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 109542  (#93.4.10.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109529  (#93.4.11.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5n равна 2n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109530  (#93.4.11.2)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Карасев Р.

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109531  (#93.4.11.3)

Темы:   [ Сфера, вписанная в многогранный угол ]
[ Касательные к сферам ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Четырехугольная пирамида ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109532  (#93.4.11.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Векторы сторон многоугольников ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .