Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остаются два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – то его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек
можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных
окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.
Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 пересечена плоскостью,
проходящей через середины рёбер AB , A1C1 и BB1 . Постройте сечение
призмы, найдите площадь сечения и вычислите угол между плоскостью основания ABC
и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4, а высота призмы равна
.
По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось OX никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось OY обязательно совпадут или совпадали раньше.
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
На шахматной доске 100×100 расставлено 100 не бьющих друг друга ферзей.
Докажите, что в каждом угловом квадрате 50×50 находится хотя бы один
ферзь.
а) В городе Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее десяти машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если её члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?
б) В Мехико для каждой частной автомашины устанавливается один день в неделю, в который она не может выезжать на улицы города. Состоятельная семья из десяти человек подкупила полицию, и для каждой машины они называют два дня, один из которых полиция выбирает в качестве невыездного дня. Какое наименьшее количество машин нужно купить семье, чтобы каждый день каждый член семьи мог самостоятельно ездить, если утверждение невыездных дней для автомобилей идёт последовательно?
Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению
при всех x
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
Задача 109577 (#94.4.11.6) |
|
|
Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению
при всех x
|
|
Решение |
Задача 109578 (#94.4.11.7) |
|
|
На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A1 , B1 и C1 так, что плоскости A1B1C1 и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C1 . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A1B1C .
|
|
Решение |
Задача 109579 (#94.4.11.8) |
|
|
Внутри круга расположены точки A1, A2, ..., An, а на его границе – точки B1, B2, ..., Bn так, что отрезки A1B1, A2B2, ..., AnBn не пересекаются. Кузнечик может перепрыгнуть из точки Ai в точку Aj, если отрезок AiAj не пересекается ни с одним из отрезков AkBk, k ≠ i, j.
Докажите, что за несколько прыжков кузнечик сможет попасть из каждой точки Ap в любую точку Aq.
|
|
|
Решение |
Задача 109587 (#94.4.10.8) |
|
|
В городе Цветочном n площадей и m улиц (m ≥ n + 1). Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
