Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]

Задача 109668 (#98.5.10.1)

Темы:	[	Теорема Виета	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Кубические многочлены	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax³ + bx² + cx + d: первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109669 (#98.5.10.2)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 109670 (#98.5.10.3)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 109671 (#98.5.10.4)

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов ( k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из (k+1)² элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.

Прислать комментарий Решение

Задача 109672 (#98.5.10.5)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Малинникова Е.

С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98 . Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]