Версия для печати
Убрать все задачи

---

Коля пришёл в музей современного искусства и увидел квадратную картину в раме необычной формы, состоящей из 21 равного треугольника. Коля заинтересовался, чему равны углы этих треугольников. Помогите ему их найти.

   Решение

---

   а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
   б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше ¹/₉.

   Решение

---

Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109698  (#99.5.10.8)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109684  (#99.5.11.1)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109685  (#99.5.11.2)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108158  (#99.5.11.3)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109694  (#99.5.11.4)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Процессы и операции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями