Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 55]

Задача 109775 (#03.5.11.3)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Системы счисления (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109776 (#03.5.11.4)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Черепанов Е.

У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.

Прислать комментарий Решение

Задача 109777 (#03.5.11.5)

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Формула Герона	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109793 (#03.5.11.6)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Автор: Берлов С.Л.

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на m + n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109778 (#03.5.11.7)

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Обход графов	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Иванов И.

В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 [Всего задач: 55]