Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
2002-2003
>>
Заключительный этап
>>
10 Класс
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
Имеется таблица n×n, в n – 1 клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?
Охотник рассказал приятелю, что видел в лесу волка с метровым хвостом. Тот рассказал другому приятелю, что в лесу видели волка с двухметровым хвостом. Передавая новость дальше, простые люди увеличивали длину хвоста вдвое, а творческие – втрое. В результате по телевизору сообщили о волке с хвостом длиной 864 метра. Сколько простых и сколько творческих людей "отрастили" волку хвост?
В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?
Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.
На олимпиаде m>1 школьников решали n>1 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.
Окружности S1 и S2 с центрам O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S1 и S2 в точке A пересекают отрезки BO2 и BO1 в точках K и L соответственно. Докажите, что KL || O1O2.
Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S1 и S2 треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S1 и S2 в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём OP : PL = MQ : QO. Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.
Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1.
Докажите, что точка h = a1 + a2 + a3 является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?
С числом разрешается производить две
операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на
1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0
получить
а) число 100; б) число n?
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов a,b,c из M
число a2+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a
из M число a рационально.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 109780 (#03.5.10.1) |
|
|
Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов a,b,c из M
число a2+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a
из M число a рационально.
|
|
Решение |
Задача 108126 (#03.5.10.2) |
|
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S1 и S2 треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S1 и S2 в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём OP : PL = MQ : QO. Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 109782 (#03.5.10.3) |
|
|
Дано дерево с n вершинами, n ≥ 2. В его вершинах расставлены числа x1, x2, xn, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что
|
|
Решение |
Задача 109783 (#03.5.10.4) |
|
|
На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .
|
|
|
Решение |
Задача 109791 (#03.5.10.5) |
|
|
В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
