Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]

Задача 109782 (#03.5.10.3)

Темы:	[	Деревья	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Перестройки	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Дано дерево с n вершинами, n ≥ 2. В его вершинах расставлены числа x₁, x₂, x_n, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 109783 (#03.5.10.4)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Покрытия	]
	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .

Прислать комментарий Решение

Задача 109791 (#03.5.10.5)

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Раскраски	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109784 (#03.5.10.6)

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Последовательность натуральных чисел a_n строится следующим образом: a₀ – некоторое натуральное число; a_n+1 = ⅕ a_n, если a_n делится на 5;
a_n+1 = [ a_n], если a_n не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность a_n возрастает.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108127 (#03.5.10.7)

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω_a касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]