Квадрат n×n ( n 3 ) склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.

   Решение

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

   Решение

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h .

   Решение

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = ^r/₃  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

   Решение

При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

   Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

   Решение

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C₀ и B₀ – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC₀ пересекаются в точке P, а прямые CH и OB₀ – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

   Решение

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

   Решение

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и углом β боковой грани с плоскостью основания.

   Решение

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром b и углом β боковой грани с плоскостью основания.

   Решение

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

   Решение

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

   Решение

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a боковым ребром b .

   Решение

Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

   Решение

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что  BP = CP.

   Решение

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

   Решение

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и углом β боковой грани с плоскостью основания.

   Решение

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

Прислать комментарий

Решение

Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]