Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]

Задача 109911 (#97.4.11.7)

Темы:	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Карасев Р.

Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 ) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

Прислать комментарий Решение

Задача 109912 (#97.4.11.8)

Темы:	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Для каких α существует функция f : , отличная от константы, такая, что

f(α(x+y))=f(x)+f(y);?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109653 (#97.5.9.1)

Темы:	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Малинникова Е.

Пусть P(x) – квадратный трёхчлен с неотрицательными коэффициентами.
Докажите, что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство (P(xy))² ≤ P(x²)P(y²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109654 (#97.5.9.2)

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90^o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Прислать комментарий Решение

Задача 109655 (#97.5.9.3)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Боковая поверхность параллелепипеда	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Карпов Д.В., Рукшин С., Фон-дер-Флаас Д.

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием a×b и высотой c (a, b и c – натуральные числа) оклеена по клеточкам без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными рёбрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из чётного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если c нечётно, то число способов оклейки чётно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]