Версия для печати
Убрать все задачи

---

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.
Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.

   Решение

---

Докажите, что в любой правильной пирамиде все боковые ребра равны.

   Решение

---

Имеется набор гирь со следующими свойствами:

1. В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
2. Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.

Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110166  (#04.4.9.1)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Имеется набор гирь со следующими свойствами:

1. В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
2. Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.

Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108210  (#04.4.9.2)

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110168  (#04.4.9.3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Куб ] [ Шахматная раскраска ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110160  (#04.4.9.4)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Три натуральных числа таковы, что произведение каждых двух из них делится на сумму этих двух чисел.
Докажите, что эти три числа имеют общий делитель, больший единицы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110161  (#04.4.9.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Признаки делимости на 11 ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями