Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 915]

Задача 67355

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Reznik D., Акопян А.В.

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67356

Тема:

[

Инверсия помогает решить задачу

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кухарчук И.

По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

Прислать комментарий Решение

Задача 67543

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Галяпин Г.

Внутри четырёхугольника $ABCD$ отметили точку $P$ такую, что $\angle APB + \angle CPD = 180^\circ$. Точки $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ изогонально сопряжены $P$ в треугольниках $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольников $ABCD$ и $P_aP_bP_cP_d$ совпадают.

Прислать комментарий Решение

Задача 110756

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Параллельный перенос	]
	[	Правильные многогранники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?

Прислать комментарий Решение

Задача 110789

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Волчкевич М.А.

Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 915]