Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S1 с центром O1 касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S2 с центром O2 такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O1 лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O2D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.
Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?
Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что BM || AC.
В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?
В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо два, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что ∠BDM = ∠BEM = ∠B. Докажите, что BT ⊥ DE.
В клетчатом квадрате 101×101 каждая клетка внутреннего квадрата 99×99 покрашена в один из десяти цветов (клетки, примыкающие к границе квадрата, не покрашены). Может ли оказаться, что в каждом квадрате 3×3 в цвет центральной клетки покрашена еще ровно одна клетка?
Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?
Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 111882 (#08.5.9.6) |
|
Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?
|
|
Решение |
Задача 111883 (#08.5.9.7) |
|
|
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число 2x + 1 или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
|
|
|
Решение |
Задача 111884 (#08.5.9.8) |
|
|
В нашем распоряжении имеются 32k неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3k + 1 взвешиваний?
|
|
|
Решение |
Задача 111877 (#08.5.10.1) |
|
|
Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?
|
|
Решение |
Задача 111870 (#08.5.10.2) |
|
|
Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
