ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Числа a, b и c таковы, что  (a + b)(b + c)(c + a) = abc,  (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³.  Докажите, что  abc = 0.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 115416  (#06.4.9.5)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Системы алгебраических неравенств ]
[ Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Числа a, b и c таковы, что  (a + b)(b + c)(c + a) = abc,  (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³.  Докажите, что  abc = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115417  (#06.4.9.6)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Необычные конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115418  (#06.4.9.7)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115419  (#06.4.9.8)

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Треугольник (построения) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115404  (#06.4.10.1)

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)1000 – (cx + d)1000  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .