Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

Вниз   Решение


Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

ВверхВниз   Решение


Автор: Смирнов А.

Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?

ВверхВниз   Решение


Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что   f(y) = f(x) + y.  Найдите наибольшее возможное значение a.

ВверхВниз   Решение


Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

ВверхВниз   Решение


Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника A было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и коэффициент силы по формуле: сумма очков тех участников, у кого A выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.
  а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?
  б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

ВверхВниз   Решение


При изготовлении партии из  N ≥ 5  монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

ВверхВниз   Решение


В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо один, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре?

ВверхВниз   Решение


Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 115417  (#06.4.9.6)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Необычные конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115418  (#06.4.9.7)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9

Восемь клеток одной диагонали шахматной доски назовём забором. Ладья ходит по доске, не наступая на одну и ту же клетку дважды и не наступая на клетки забора (промежуточные клетки не считаются посещёнными). Какое наибольшее число прыжков через забор может совершить ладья?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115419  (#06.4.9.8)

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Треугольник (построения) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Треугольники ABC и A1B1C1 имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник A2B2C2, равный треугольнику A1B1C1 и такой, что прямые AA2, BB2 и CC2 будут параллельны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115404  (#06.4.10.1)

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)1000 – (cx + d)1000  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115413  (#06.4.10.2)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

В треугольнике  ABC проведена биссектриса  BD (точка  D лежит на отрезке  AC ). Прямая  BD пересекает окружность  Ω , описанную около треугольника  ABC , в точках  B и  E . Окружность  ω , построенная на отрезке  DE как на диаметре, пересекает окружность  Ω в точках  E и  F . Докажите, что прямая, симметричная прямой  BF относительно прямой  BD , содержит медиану треугольника  ABC .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .