Версия для печати
Убрать все задачи
а) Пусть {a1, a2,..., an} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a1, a2, ..., an}, {a2, ..., an, a1}, ..., {an, a1, ..., an–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.
б) Выведите отсюда равенства: 
где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана Cn смотри в
справочнике.
Решение
а) Из точки
A, лежащей вне окружности, выходят лучи
AB и
AC,
пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла
BAC равна
полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.
б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.
Решение
На столе в виде треугольника выложены
28
монет
одинакового размера (рис.). Известно, что суммарная
масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг
друга, равна
10
г. Найдите суммарную массу всех
18
монет на границе
треугольника.
Решение
Фильтр
