Версия для печати
Убрать все задачи

---

Гениальные математики. а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?

   Решение

---

Найти корни уравнения   

   Решение

---

Пусть  ka ≡ kb (mod m),  k и m взаимно просты. Тогда  a ≡ b (mod m).

   Решение

---

Дан выпуклый n-угольник A₁...A_n. Пусть P_i  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая A_iP_i делит его площадь пополам. Известно, что все точки P_i не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115872  (#16)

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A₁, A₂, на другой – B₁, B₂, так что точка C₁ пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂ лежит на третьей прямой. Пусть C₂ – точка пересечения A₁B₂ и A₂B₁. Докажите, что угол C₁OC₂ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115873  (#17)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Прямая Симсона ] [ Теорема Карно ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A₁, B₁, C₁ – проекции X на BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A₁, B₁, C₁ на, соответственно, B₂C₂, C₂A₂, A₂B₂, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115874  (#18)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ ГМТ с ненулевой площадью ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115875  (#19)

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый n-угольник A₁...A_n. Пусть P_i  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая A_iP_i делит его площадь пополам. Известно, что все точки P_i не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115877  (#20)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Точка C₂ симметрична C относительно A₁B₁. Докажите, что H, O, C₁ и C₂ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями