Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из чётного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Прислать комментарий

Решение

Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
  а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
  б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

Прислать комментарий

Решение

Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из чётного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями.

Прислать комментарий

Решение

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]