Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

   Решение

---

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

   Решение

---

Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123...10111213...499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

   Решение

---

Петя выбрал натуральное число  a > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + a,  1 + a²,  1 + a³,  ...,  1 + a¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

   Решение

---

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116556  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямые, лучи, отрезки и углы (прочее) ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3- Классы: 9,10

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116557  (#10.3)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Даны различные натуральные числа  a₁, a₂, ..., a₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  a_k + a_l,  где  1 ≤ k, l ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116564  (#11.2)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116565  (#11.3)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116543  (#9.4)

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство   

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями