Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 116911 (#10.1)

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Степень вершины	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Автор: Шаповалов А.В.

При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116912 (#10.2)

Темы:	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116913 (#10.3)

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Момент инерции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = ^r/₃ тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116914 (#10.4)

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116915 (#10.5)

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Нилов Ф.

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]