Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
>>
глава 10. Делимость-2
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
В правильном n-угольнике (n ≥ 3) отмечены середины
всех сторон и диагоналей.
Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?
В треугольнике ABC сторона c наибольшая, а a
наименьшая. Докажите, что
lc ha.
Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются
в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и
FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка
пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых
A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной
прямой.
Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.
Докажите, что при n ≥ 6 правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.
Дан треугольник ABC и такая точка F, что ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA. Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A1. Точки B1 и C1 определяются аналогично. Докажите, что A1, B1 и C1 являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.
В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.
Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке Pa; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке Pc. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PPaPc лежат на одной прямой.
Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.
Сумма трёх чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что a5 + b5 + c5 также делится на 30.
В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD,
медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке. В каких пределах
может изменяться величина угла A?
На окружности радиуса a дана точка. С помощью
монеты радиуса a постройте точку, диаметрально
противоположную данной.
Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что O1M = O2M.
Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 99]
Задача 30622 (#036) |
|
|
Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?
|
|
Решение |
Задача 30623 (#037) |
|
|
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
|
|
|
Решение |
Задача 30624 (#038) |
|
|
Докажите, что произведение последней цифры числа 2n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.
|
|
|
Решение |
Задача 30625 (#039) |
|
|
Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?
|
|
|
Решение |
Задача 30626 (#040) |
|
|
Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 99]
