Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите неравенство  xαyβ ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).

Вниз   Решение


Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине A треугольника ABC пересекают прямую BC в точках P и Q.
Докажите, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, проходит через точку A.

ВверхВниз   Решение


a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

ВверхВниз   Решение


Все углы треугольника ABC меньше  120o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120o.


ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²b² + b²c² + a²c² ≥ abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 76]      



Задача 61372  (#10.021)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство  ( + )8 ≥ 64xy(x + y)²   (x, y ≥ 0).

Прислать комментарий     Решение

Задача 30866  (#10.022)

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61374  (#10.023)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите для положительных значений переменных неравенство  (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61375  (#10.024)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²(1 + b4) + b²(1 + a4) ≤ (1 + a4)(1 + b4).

Прислать комментарий     Решение

Задача 30869  (#10.025)

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что при любых a, b, c имеет место неравенство  a4 + b4 + c4abc(a + b + c).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 76]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .