Каталог по источникам

Выбрано 11 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.

Решение

a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².

Решение

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Решение

Автор: Кожевников П.А.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ( $AB=AC$ ) проведена высота $AA_0$ . Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$ . Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$ . Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Решение

Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.

Решение

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

Решение

Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

Решение

Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

Решение

Сколько цифр у числа 2¹⁰⁰⁰?

Решение

На сколько нулей оканчивается число 9⁹⁹⁹ + 1?

Решение

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Решение

Задача 30879 (#036)

Задача 30880 (#037)

Задача 30881 (#038)

Задача 30882 (#039)

Задача 30883 (#040)