Пусть M — середина отрезка AB, O — произвольная точка. Докажите, что = ( + ).

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

   Решение

  На автобусе ездил Андрей
  На кружок и обратно домой,
  Заплатив 115 рублей,
  Покупал он себе проездной.
  В январе он его не достал,
  И поэтому несколько дней
  У шофёра билет покупал
  Он себе за 15 рублей.
  А в иной день кондуктор с него
  Брал 11 только рублей.
  Возвращаясь с кружка своего
  Всякий раз шёл пешком наш Андрей.
  За январь сколько денег ушло,
  Посчитал бережливый Андрей:
  С удивлением он получил
  Аккурат 115 рублей!
  Сосчитайте теперь поскорей,
  Сколько раз был кружок в январе?

   Решение

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции y = 2^x?

   Решение

Концы отрезка постоянной длины скользят по сторонам данного угла. Из середины этого отрезка к нему восставлен перпендикуляр. Докажите, что отрезок перпендикуляра от его начала до точки пересечения с биссектрисой угла имеет постоянную длину.

   Решение

В правильной треугольной пирамиде ABCP с вершиной P сторона основания равна 2. Через сторону основания BC проведено сечение, которое пересекает ребро PA в точке M , причём PM:MA = 1:3 , а площадь сечения равна 3. Найдите высоту пирамиды.

   Решение

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – K. Найти a.

   Решение

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен α, а площадь равна S. Найдите основание.

   Решение

Прямая, параллельная основаниям трапеции, разбивает её на две подобные трапеции.
Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, если основания равны a и b.

   Решение

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

   Решение

На квадратном поле размерами 99×99, разграфленном на клетки размерами 1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

   Решение

Основание пирамиды совпадает с одной из граней куба, а вершина – с центром противоположной грани. Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.

   Решение

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

   Решение

Докажите равенство треугольников по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

   Решение

Учащиеся 57-й школы решили провести чемпионат по мини-футболу. Так как ворота на школьном дворе разного размера, то игроки хотят составить расписание игр так, чтобы:
  1) Каждая команда сыграла с каждой ровно по одному разу.
  2) Каждая команда чередовала свои игры – то на плохой стороне, то на хорошей стороне двора.
    а) Удастся ли это сделать, если в турнире принимают участие 10 команд?
    б) Можно ли при этом составить расписание так, чтобы каждый день каждая команда играла ровно одну игру?

   Решение

Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 644]      

Учащиеся 57-й школы решили провести чемпионат по мини-футболу. Так как ворота на школьном дворе разного размера, то игроки хотят составить расписание игр так, чтобы:
  1) Каждая команда сыграла с каждой ровно по одному разу.
  2) Каждая команда чередовала свои игры – то на плохой стороне, то на хорошей стороне двора.
    а) Удастся ли это сделать, если в турнире принимают участие 10 команд?
    б) Можно ли при этом составить расписание так, чтобы каждый день каждая команда играла ровно одну игру?

Прислать комментарий

Решение

а) Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
б) Каждые две из девяти ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из восьми цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило восемь проводов разного цвета?

Прислать комментарий

Решение

Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля
  а) больше трёх раз.
  б) больше четырёх раз.

Прислать комментарий

Решение

На доске написаны числа
  а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;
  б) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;
  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.
Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число – 0? Если да, то как это сделать?

Прислать комментарий

Решение

См. задачу 73546 а).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 644]