Каталог по источникам

Выбрано 11 задач

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точке A относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q изогонально сопряжены.

Решение

В следующих многозначных числах цифры заменены буквами (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а разные цифры – разными буквами). Оказалось, что ДЕВЯНОСТО делится на 90, а ДЕВЯТКА делится на 9. Может ли СОТКА делиться на 9?

Решение

Найдите ГМТ X, лежащих внутри правильного треугольника ABC и обладающих тем свойством, что $\angle$ XAB + $\angle$ XBC + $\angle$ XCA = 90^o.

Решение

Четырехугольник ABCD вписанный; H_c и H_d — ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDH_cH_d — параллелограмм.

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; O₁, O₂, O₃, O₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что O₁O₂O₃O₄ -- прямоугольник.

Решение

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

Решение

Окружности S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Решение

Доказать: произведение
а) двух нечётных чисел нечётно;
б) чётного числа с любым целым числом чётно.

Решение

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.

Решение

На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Проведите через точку P прямую (отличную от AB), пересекающую лучи CA и CB в таких точках M и N, что AM = BN.

Решение

Доказать: сумма
а) любого количества чётных слагаемых чётна;
б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;
в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.

Решение

Задача 33134

Задача 33135

Задача 35625

Задача 35805

Задача 35818