Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из n× клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.
На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции:
по любым числам x и y он вычисляет x + y, x − y и (при x ≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).
Пусть две прямые пересекаются под углом α. Докажите, что при повороте на угол α (в одном из направлений) относительно произвольной точки одна из этих прямых перейдёт в прямую, параллельную другой.
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.
Два одинаковых прямоугольных треугольника из бумаги удалось положить один на другой так, как показано на рисунке (при этом вершина прямого угла одного попала на сторону другого). Докажите, что заштрихованный треугольник равносторонний.
Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.
а) a, b, c — длины сторон треугольника. Доказать, что
a4 + b4 + c4 − 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) + a2bc + b2ac + c2ab ≥ 0.
б) Доказать, что
a4 + b4 + c4 − 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) + a2bc + b2ac + c2ab ≥ 0 для любых
неотрицательных a, b, c.
В выпуклом четырёхугольнике ACBD, площадь которого равна 25, проведены диагонали. Известно, что SABC = 2 SBCD, а SABD = 3 SACD. Найдите площади треугольников ABC, ACD, ADB и BCD.
В равнобедренном треугольнике ABC ∠B = arctg 8/15. Окружность радиуса 1, вписанная в угол C, касается стороны CB в точке M и отсекает от основания отрезок KE. Известно, что MB = 15/8. Найдите площадь треугольника KMB, если известно, что точки A, K, E, B следуют на основании AB в указанном порядке.
Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Найдите длину биссектрису, проведённой из вершины прямого угла.
Задачи Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 6702]
Задача 55170 |
|
|
Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что угол BMC больше угла BAC.
|
|
Решение |
Задача 55205 |
|
|
Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит .
|
|
|
Решение |
Задача 55274 |
|
|
Докажите, что если a и b – две стороны треугольника, γ – угол
между ними и l – биссектриса этого угла, то
|
|
|
Решение |
Задача 55304 |
|
|
Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Найдите длину биссектрису, проведённой из вершины прямого угла.
|
|
Решение |
Задача 55346 |
|
|
В ромбе ABCD угол при вершине A равен 60°. Точка N делит сторону AB в отношении AN : BN = 2 : 1. Найдите тангенс угла DNC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 6702]
