Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A₁, B₁, C₁, D₁ различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат в одной плоскости.

   Решение

---

Обозначим корни уравнения  x² + px + q = 0  через x₁, x₂. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек  M(, q),  которые задаются условиями:
а)  x₁ = 0,  x₂ = 1;     б)  x₁ ≤ 0,  x₂ ≥ 2;     в)  x₁ = x₂;     г)  – 1 ≤ x₁ ≤ 0,  1 ≤ x₂ ≤ 2.

   Решение

---

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если  CAA₁ = CBB₁, то AC = BC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56546  (#02.006)

Тема:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что  BK = | AK - CK|/ и  DK = (AK + CK)/.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56547  (#02.007)

Тема:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

В треугольнике ABC проведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если  CAA₁ = CBB₁, то AC = BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56548  (#02.008)

Тема:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Все углы треугольника ABC меньше  120^o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120^o.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56549  (#02.009)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56550  (#02.010)

Тема:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

На окружности даны точки A, B, M и N. Из точки M проведены хорды MA₁ и MB₁, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что  AA₁ || BB₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями