Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$.

Вниз   Решение


Упростить выражение   .

ВверхВниз   Решение


Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E. Найдите AE, зная, что AK = KB = a, $ \angle$BCK = $ \alpha$, $ \angle$CBE = $ \beta$.

ВверхВниз   Решение


Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

ВверхВниз   Решение


Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке. Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены. Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.

ВверхВниз   Решение


В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC на стороне AB взята точка L, причём  AL = 1,  BL = 3,  а на стороне BC взята точка K, делящая эту сторону в отношении
BK : KC = 3 : 2.  Точка Q пересечения прямых AK и CL отстоит от прямой BC на расстоянии 1,5. Вычислите синус угла B.

ВверхВниз   Решение


Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до прямых AB и AC равны db и dc. Докажите, что  db/dc = BX . AC/(CX . AB).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



Задача 56802

Тема:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56803

Тема:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9

Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до прямых AB и AC равны db и dc. Докажите, что  db/dc = BX . AC/(CX . AB).
Прислать комментарий     Решение


Задача 56804

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56805

Тема:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56806

Тема:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .