ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$. Упростить выражение
Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность,
которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E.
Найдите AE, зная, что
AK = KB = a,
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке.
Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены.
Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся
треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.
В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре? В треугольнике ABC на стороне AB взята точка L, причём
AL = 1, BL = 3, а на стороне BC взята точка K, делящая эту сторону в отношении Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC
до прямых AB и AC равны db и dc. Докажите,
что
db/dc = BX . AC/(CX . AB).
|
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]
Длины сторон треугольника образуют арифметическую
прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности
равен трети одной из высот треугольника.
Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC
до прямых AB и AC равны db и dc. Докажите,
что
db/dc = BX . AC/(CX . AB).
Многоугольник, описанный около окружности радиуса r,
разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма
радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD,
проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB
(точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA
соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в
одной точке.
Докажите, что если никакие стороны четырехугольника
не параллельны, то середина отрезка, соединяющего
точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей
середины диагоналей (прямая Гаусса).
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке