Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 73656 (#М121)

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Для любых n вещественных чисел a₁, a₂, ..., a_n существует такое натуральное k ≤ n, что каждое из k чисел a_k, ½ (a_k + a_k–1),
⅓ (a_k + a_k–1 + a_k–2), ..., ¹/_k (a_k + a_k–1 + ... + a₂ + a₁) не превосходит среднего арифметического c чисел a₁, a₂, ..., a_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52408 (#М122)

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73658 (#М123)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бешкарев В.П.

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73660 (#М125)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.

Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56804 (#М126)

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]