Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На плоскости дано n прямых общего положения. Чему равно число образованных ими треугольников?

Вниз   Решение


Правильный многоугольник  A1...An вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A1X² + ... + AnX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

ВверхВниз   Решение


Найдите сумму  Sl(x) = g0,l(x) – g1,l–1(x) + g2,l–2(x) – ... + (–1)lgl,0(x).
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.

ВверхВниз   Решение


Точка O расположена в сечении BDD'B' прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' размером 4× 6× 9 так, что ODA + ODC + ODD' = 180o . Сфера с центром в точке O касается плоскостей A'B'C' , DD'A и не имеет общих точек с плоскостью DD'C . Найдите расстояние от точки O до этой плоскости.

ВверхВниз   Решение


Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 110]      



Задача 57020  (#06.010.2)

Тема:   [ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если ra, rb, rc, rd — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

$\displaystyle {\frac{1}{r_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_c}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_d}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57021  (#06.010.3)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Окружности S1 и S2, S2 и S3, S3 и S4, S4 и S1 касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57022  (#06.011)

Тема:   [ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57023  (#06.012)

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписанный; Hc и Hd — ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDHcHd — параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55536  (#06.013)

Темы:   [ Углы между биссектрисами ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; O1, O2, O3, O4 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что O1O2O3O4 -- прямоугольник.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 110]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .