Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

Решение

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

Решение

Даны 12 чисел, a₁, a₂,...a₁₂, причём имеют место следующие неравенства:

a₂(a₁ - a₂ + a₃)	<	0
a₃(a₂ - a₃ + a₄)	<	0
.........
a₁₁(a₁₀ - a₁₁ + a₁₂)	<	0

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.

Решение

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {b_n} следующим образом: b₁ = 1, b_k+1 = P(b_k) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.

Решение

Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

Решение

Куб 3×3×3 составлен из 14 белых и 13 чёрных кубиков со стороной 1. Столбик – это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления: ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике
а) нечётное количество белых кубиков?
б) нечётное количество чёрных кубиков?

Решение

Построить треугольник по основанию, высоте и разности углов при основании.

Решение

Докажите, что 6r $\leq$ a + b.

Решение

Докажите, что 2bc cos $\alpha$ /(b + c) < b + c - a < 2bc/a.

Решение

Докажите, что

l_a²l_b² + l_b²l_c² + l_a²l_c² $\displaystyle \le$ rp²(4R + r).

Решение

Задача 57425

Задача 57426

Задача 57427

Задача 57428

Задача 57429