ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 10. Неравенства для элементов треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Акулич И.Ф.

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку.

Побейте его рекорд — закрасьте а) 32 клетки; б) 33 клетки.

Вниз   Решение

Авторы: Гурвич В.А., Гольберг А.И.

Куб разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что для любых двух параллелепипедов их проекции на некоторую грань куба перекрываются (то есть пересекаются по фигуре ненулевой площади). Докажите, что для любых трёх параллелепипедов найдётся такая грань куба, что проекции каждых двух из них на эту грань не перекрываются.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  16Rr - 5r2 $ \leq$ p2 $ \leq$ 4R2 + 4Rr + 3r2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 57444  (#10.034)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что  16Rr - 5r2 $ \leq$ p2 $ \leq$ 4R2 + 4Rr + 3r2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57445  (#10.035)

Тема:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что  ra2 + rb2 + rc2 $ \geq$ 27R2/4.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57446  (#10.036)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

а)  1 < cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ $ \leq$ 3/2;
б)  1 < sin($ \alpha$/2) + sin($ \beta$/2) + sin($ \gamma$/2) $ \leq$ 3/2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57447  (#10.037)

Тема:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9

а)  sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$ $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/2;
б)  cos($ \alpha$/2) + cos($ \beta$/2) + cos($ \gamma$/2) $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57448  (#10.038)

Тема:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9

а)  ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$ $ \geq$ $ \sqrt{3}$;
б)  tg($ \alpha$/2) + tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2) $ \geq$ $ \sqrt{3}$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам