Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 14. Центр масс
>>
параграф 2. Теорема о группировке масс
Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Решение
Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.
Решение
Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Решение
Убрать все задачи
Вычислить с шестьюдесятью десятичными знаками (60 девяток).
РешениеДан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
R = 
. 
. 
.
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
РешениеИз точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.
РешениеДокажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной
точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N —
середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Пусть
A1, B1,..., F1 — середины сторон
AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки
пересечения медиан треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают.
Докажите теорему Чевы (задача 4.48, б)) с помощью группировки масс.
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки K, L, M и N соответственно, причем
AK : KB = DM : MC = 
и
BL : LC = AN : ND = 
. Пусть P —
точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что
NP : PL = и
KP : PM = .
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
Задача 57750 (#14.004) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57751 (#14.005) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 57752 (#14.006) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57753 (#14.007) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57754 (#14.008) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
