ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи а) Докажите, что существует проективное преобразование, которое
данную окружность переводит в окружность, а данную точку, лежащую
внутри окружности, переводит в центр образа.
На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние
треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков
AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.
Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 — на прямой l1. Докажите, что точки пересечения
прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на
одной прямой (Папп).
Из листа клетчатой бумаги размером
29×29 клеток вырезано 99
квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что из
него можно вырезать еще один такой квадратик.
Докажите, что
27Rr Начало координат является центром симметрии
выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта
фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами,
отличную от начала координат.
На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток
окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа
можно вырезать конечное число квадратов так, что будут
выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных
квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток
составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.
Даны три прямые l1, l2 и l3, пересекающиеся
в одной точке, и точка A1 на прямой l1. Постройте
треугольник ABC так, чтобы точка A1 была серединой его
стороны BC, а прямые l1, l2 и l3 были серединными
перпендикулярами к сторонам.
Дано n прямых. Постройте n-угольник, для которого
эти прямые являются: а) серединными перпендикулярами
к сторонам; б) биссектрисами внешних или внутренних углов
при вершинах.
Прямые
AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке O.
Докажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1, BC
и B1C1, AC и A1C1 лежат на одной прямой (Дезарг).
Даны четыре точки A, B,
C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения
прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно;
K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD
соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1
(теорема о полном четырехстороннике).
Докажите, что если
sin
то один из углов треугольника ABC равен
60o.
Докажите, что ha = bc/2R.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.
Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.
Дан выпуклый 2n-угольник A1...A2n. Внутри него взята точка P, не лежащая ни на одной из диагоналей.
В центре каждой клетки шахматной доски стоит
по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния
между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности
попарные расстояния не изменились.
Многоугольник разрезан на несколько многоугольников. Пусть p — количество
полученных многоугольников, q — количество отрезков, являющихся их
сторонами, r — количество точек, являющихся их вершинами. Докажите, что
p - q + r = 1.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке