Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Докажите, что любая диагональ четырёхугольника меньше половины его периметра.

а) Докажите, что S(A, B, C) = - S(B, A, C) = S(B, C, A).
б) Докажите, что для любых точек A, B, C и D справедливо равенство S(A, B, C) = S(D, A, B) + S(D, B, C) + S(D, C, A).

Решение

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

Решение

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

Решение

Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

Решение

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE.

Решение

Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $\alpha$ . Найдите наибольшее значение $\alpha$ .

Решение

Докажите, что с помощью гомотетии с центром (0, 0) параболу 2py = x² можно перевести в параболу y = x².

Решение

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

Решение

Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.

Решение

Окружность радиуса 2 $\sqrt{x_0^2+x_0^{-2}}$ с центром (x₀, x₀^-1) пересекает гиперболу xy = 1 в точке (- x₀, - x₀^-1) и в точках A, B, C. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение

Через данную точку проведите окружность, касающуюся двух данных окружностей (или окружности и прямой).

Решение

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + q $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \gamma$ + r $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($ r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p) $\displaystyle \bigr)$ .

Решение

Две параболы, оси которых перпендикулярны, пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности.

Решение

Задача 58496 (#31.029)

Задача 58497 (#31.030)

Задача 58498 (#31.031)

Задача 58499 (#31.032)

Задача 58500 (#31.033)