Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 31. Эллипс, парабола, гипербола >> параграф 5. Пучки коник
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Вниз   Решение

Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS пересекаются в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B — внутри окружности, причем  BC || PQ и BC = RA. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что  SACK = SBCL.

ВверхВниз   Решение

Пусть на двух пересекающихся прямых l1 и l2 выбраны точки M1 и M2, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M1, M2 и M.
Если (l1, M1), (l2, M2), (l3, M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1, M1) и (l2, M2), (l2, M2) и (l3, M3), (l3, M3) и (l1, M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса BE и на стороне BC взята точка K так, что  $ \angle$AKB = 2$ \angle$AEB. Найдите величину угла AKE, если  $ \angle$AEB = $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
$ \triangle$ADB = $ \triangle$DBC;
$ \triangle$ABD = $ \triangle$BDC;
$ \triangle$BAD = $ \triangle$ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см2.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC угол C вдвое больше угла A и b = 2a. Найдите углы этого треугольника.

ВверхВниз   Решение

На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка A1 так, что  AA1 = p - a = (b + c - a)/2, и через точку A1 проведена прямая la, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые lb и lc, то треугольник ABC разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.

ВверхВниз   Решение

Автор: Алексеев В.Б.

Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из  n – 1  цветов так, чтобы от каждого блока отходил  n – 1  провод разного цвета, если  а)  n = 6;  б)  n = 13?

ВверхВниз   Решение

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.

ВверхВниз   Решение

Точки A и B окружности S1 соединены дугой окружности S2, делящей площадь круга, ограниченного S1, на равные части. Докажите, что дуга S2, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S1.

ВверхВниз   Решение

В данный остроугольный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра.

ВверхВниз   Решение

Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.
Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

ВверхВниз   Решение

Пусть коники $ \Gamma$ и $ \Gamma_{1}^{}$ касаются в точках A и B, a коники $ \Gamma$ и $ \Gamma_{2}^{}$ касаются в точках C и D, причем $ \Gamma_{1}^{}$ и $ \Gamma_{2}^{}$ имеют четыре общие точки. Тогда у коник $ \Gamma_{1}^{}$ и $ \Gamma_{2}^{}$ есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.

ВверхВниз   Решение

Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058:
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

  с решениями  

Задача 58523  (#31.056)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что любая гипербола, проходящая через вершины треугольника ABC и точку пересечения его высот, является гиперболой с перпендикулярными асимптотами.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58524  (#31.057)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Две коники имеют 4 общих точки. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда оси коник перпендикулярны.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58525  (#31.058)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что центры коник, проходящих через точки A, B, C и D, образуют конику $ \Gamma$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58526  (#31.059)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058:
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58527  (#31.060)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть коники $ \Gamma$ и $ \Gamma_{1}^{}$ касаются в точках A и B, a коники $ \Gamma$ и $ \Gamma_{2}^{}$ касаются в точках C и D, причем $ \Gamma_{1}^{}$ и $ \Gamma_{2}^{}$ имеют четыре общие точки. Тогда у коник $ \Gamma_{1}^{}$ и $ \Gamma_{2}^{}$ есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .