Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?

Вниз   Решение


Каким линейным рекуррентным соотношениям удовлетворяют последовательности

a) an = n2;        б) an = n3?

ВверхВниз   Решение


Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при a, b, c имеет место неравенство  

ВверхВниз   Решение


Докажите, что     при  x ≥ 0.

ВверхВниз   Решение


Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что  BK·AB = BO²  и
AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Числовая функция  f такова, что для любых x и y выполняется равенство  f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy.  Найдите  f(1), если  f(0,25) = 2.

ВверхВниз   Решение


ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что  ma2 + mb2 > 29r2.

ВверхВниз   Решение


Выпуклая фигура $ \Phi$ имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то $ \Phi$ содержит по крайней мере n целочисленных точек.

ВверхВниз   Решение


Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 4an + 1 - 5an;
б) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 + an + 1 + an = 0;
г) a0 = 1, a1 = 8, an + 2 = 6an + 1 + 25an.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что  BD = BC.  Найдите CD, если  AD = 4.

ВверхВниз   Решение


Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2)$ \pi$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]      



Задача 60326  (#01.053)

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?
Прислать комментарий     Решение


Задача 34930  (#01.054)

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Раскраски ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60328  (#01.055)

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2)$ \pi$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60329  (#01.056)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Клетки шахматной доски 100×100 раскрашены в 4 цвета так, что в любом квадрате 2×2 все клетки разного цвета. Докажите, что угловые клетки раскрашены в разные цвета.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32052  (#01.057)

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9,10

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .