Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

   Решение

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

   Решение

При каком положительном значении p уравнения  3x² – 4px + 9 = 0  и  x² – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

   Решение

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

   Решение

На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.

   Решение

Разложите  P(x + 3)  по степеням x, где  P(x) = x⁴ – x³ + 1.

   Решение

В пространстве даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые. Найти множество середин всех отрезков данной длины, концы которых лежат на этих прямых.

   Решение

Докажите неравенство   nⁿ⁺¹ > (n + 1)ⁿ  для натуральных  n > 2.

   Решение

Докажите неравенство для натуральных n:  

   Решение

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов среди всех людей.
Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

   Решение

Докажите, что для остроугольного треугольника

+ + + + .

   Решение

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует углы по 45° со стороной BC и высотой, проведённой из вершины D к стороне АВ.
Найдите угол АСD.

   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 4k + 3  бесконечно.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

Доказать, что n-е простое число больше 3n при  n > 12.

Прислать комментарий

Решение

2ⁿ = 10a + b.  Доказать, что если  n > 3,  то ab делится на 6.  (n, a и b – целые числа,  b < 10.)

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 4k + 3  бесконечно.

Прислать комментарий

Решение

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

Прислать комментарий

Решение

Пусть натуральное число n таково, что  n + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]