Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
>>
параграф 1. Простые числа
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.
Существуют ли а) 5, б) 6 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию?
Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.
При каких целых n число n4 + 4 – составное?
Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))n, n > 1, положительны?
x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Докажите неравенство для натуральных n:
Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй – 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.
Четырехугольник ABCD выпуклый; точки
A1, B1, C1
и D1 таковы, что
AB||C1D1, AC||B1D1 и т. д. для всех
пар вершин. Докажите, что четырехугольник
A1B1C1D1 тоже
выпуклый, причем
A +
C1 = 180o.
Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an – 1 простое, то a = 2 и n – простое.
(Числа вида q = 2n – 1 называются числами Мерсенна.)
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]
Задача 60478 (#03.026)[Числа Ферма] |
|
|
Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an + 1 простое, то a чётно и n = 2k.
(Числа вида fk = 22k + 1 называются числами Ферма.)
|
|
Решение |
Задача 60479 (#03.027) |
|
|
Пусть fn = 22n + 1. Докажите, что fn делит 2fn – 2.
|
|
|
Решение |
Задача 60480 (#03.028) |
|
|
Докажите, что числа Ферма fn = 22n + 1 при n > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 60481 (#03.029)[Числа Мерсенна] |
|
|
Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an – 1 простое, то a = 2 и n – простое.
(Числа вида q = 2n – 1 называются числами Мерсенна.)
|
|
Решение |
Задача 60482 (#03.030) |
|
|
Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]
