Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

   Решение

---

Можно ли расставить на ребрах куба числа от 1 до 12 так, чтобы все суммы чисел на гранях были одинаковыми?

   Решение

---

В задаче 60477 были определены числа Евклида. Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида e_n?

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 209]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60698  (#04.072)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Целые числа a, b и c таковы, что  a³ + b³ + c³  делится на 7. Докажите, что abc делится на 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60699  (#04.073)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Найдите остаток от деления на 17 числа  2¹⁹⁹⁹ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60700  (#04.074)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В задаче 60477 были определены числа Евклида. Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида e_n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60701  (#04.075)

Темы:   [ Целочисленные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что
  а) длина одного из катетов кратна 3,
  б) длина одной из трёх сторон делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30605  (#04.076)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Обозначим через k произведение нескольких (больше одного) первых простых чисел.
Докажите, что число   а)  k – 1;   б)  k + 1  не является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 209]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями