Каталог по источникам

Выбрано 11 задач

Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для приближённого нахождения корней многочлена f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
а) x₀ = 1; б) x₀ = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел x_n в цепные дроби.

Решение

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ${\dfrac{1}{1+x_n}}$ ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a $\in$ (0; $\pi$ );
в) x_{n + 1} = $\sqrt{a+x}$ ,    a > 0, x₀ = 0.

Решение

Решить в простых числах уравнение pqr = 7(p + q + r).

Решение

Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства

f (A) $\displaystyle \oplus$ f (B) = f (C), f (A) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (B), f (B) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?

Решение

Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.

Решение

В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя проехать ни из одного города.

Решение

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

Решение

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно n –1 раз и не проводя никакое ребро дважды.

Решение

Докажите, что при x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg ${\dfrac{x}{2}}$ рационально.