Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

   Решение

---

Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение.
Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень.

   Решение

---

При каком положительном значении p уравнения  3x² – 4px + 9 = 0  и  x² – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

   Решение

---

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

   Решение

---

На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Разложите  P(x + 3)  по степеням x, где  P(x) = x⁴ – x³ + 1.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61000  (#06.077)  [Схема Горнера]

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Значение многочлена  P_n(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀    (a_n ≠ 0)  в точке  x = c  можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен P_n(x) в виде  P_n(x) = (...(a_nx + a_n–1)x + ... + a₁)x + a₀.   Пусть  b_n, b_n–1, ..., b₀  – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления P_n(c), то есть  b_n = a_n,  b_k = cb_k+1 + a_k  (k = n – 1, ..., 0).  Докажите, что при делении многочлена P_n(x) на  x – c  с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами  b_n–1, ..., b₁,  а остатком будет число b₀. Таким образом, будет справедливо равенство:
P_n(x) = (x – c)(b_nx^n–1 + ... + b₂x + b₁) + b₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61001  (#06.078)  [Формулы сокращенного умножения]

Тема:   [ Разложение на множители ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9

Докажите следующие формулы:

aⁿ⁺¹ – bⁿ⁺¹ = (a – b)(aⁿ + a^n–1b + ... + bⁿ);

a²ⁿ⁺¹ + b²ⁿ⁺¹ = (a + b)(a²ⁿ – a^2n–1b + a^2n–2b² – ... + b²ⁿ).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61002  (#06.079)  [Формула Тейлора для многочленов]

Темы:   [ Теоремы Тейлора и приближения функций ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням  x – c:

причем коэффициенты c_k могут быть найдены по формуле

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61003  (#06.080)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пользуясь схемой Горнера, разложите  x⁴ + 2x³ – 3x² – 4x + 1  по степеням  x + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61004  (#06.081)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Разложите  P(x + 3)  по степеням x, где  P(x) = x⁴ – x³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями