Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 2. Рекуррентные последовательности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  Ln(x) = Fn–1(x) + Fn+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  Fn(x)(x² + 4) = Ln–1(x) + Ln+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F2n(x) = Ln(x)Fn(x)  (n ≥ 0);
  г)  (Ln(x))² + (Ln+1(x))² = (x² + 4)F2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  Fn+2(x) + Fn–2(x) = (x² + 2)Fn(x).

Вниз   Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x1, 2 = a±ib = re±i$\scriptstyle \varphi$. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство

an = rn(c1cos n$\displaystyle \varphi$ + c2sin n$\displaystyle \varphi$).


ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

ВверхВниз   Решение

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA1 (или её продолжения), равноудаленная от точек B1 и C1. Докажите, что  ∠B1MC1 = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B1 и C1. Докажите, что  ∠B1OC1 = 180° – φ.

ВверхВниз   Решение

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

ВверхВниз   Решение

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что  AE : CF = AO : CO.

ВверхВниз   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём  AB = CD = EF = R.  Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

ВверхВниз   Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

ВверхВниз   Решение

Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:

xn = xn - 1 + 2yn - 1sin2$\displaystyle \alpha$,    yn = yn - 1 + 2xn - 1cos2$\displaystyle \alpha$;    x0 = 0, y0 = cos$\displaystyle \alpha$.

Найдите выражение для xn и yn через n и $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?

ВверхВниз   Решение

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

ВверхВниз   Решение

Из набора домино выбросили все кости с шестёрками. Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

ВверхВниз   Решение

Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение  aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg,  если каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h, k равно ±1.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $ \beta$, что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$.


ВверхВниз   Решение

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами
  Un(x/2) = i–nFn+1(ix);   2Tn(x/2) = i–nLn(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

Задача 61468  (#11.041)

 [Многочлены Фибоначчи и Люка]
Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  Ln(x) = Fn–1(x) + Fn+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  Fn(x)(x² + 4) = Ln–1(x) + Ln+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F2n(x) = Ln(x)Fn(x)  (n ≥ 0);
  г)  (Ln(x))² + (Ln+1(x))² = (x² + 4)F2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  Fn+2(x) + Fn–2(x) = (x² + 2)Fn(x).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61469  (#11.042)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи Fn(x) и Люка Ln(x) смотри, например, здесь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61470  (#11.043)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка, аналогичную формуле Бине (см. задачи 60578 и 60587).
Определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61471  (#11.044)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Многочлены Чебышева ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами
  Un(x/2) = i–nFn+1(ix);   2Tn(x/2) = i–nLn(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61472  (#11.045)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x) и Ln(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .