а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.

   Решение

Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.

   Решение

На плоскости лежат две одинаковые буквы . Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'. Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A₁,..., A_{n - 1}; A₁',..., A_{n - 1}' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AA_i и A'A_i' пересекаются в точке X_i. Докажите, что точки X₁,..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

   Решение

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

   Решение

В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?

   Решение

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

   Решение

На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?

   Решение

Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них квадрат.

   Решение

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

   Решение

Поворот с центром O переводит прямую l₁ в прямую l₂, а точку A₁, лежащую на прямой l₁, — в точку A₂. Докажите, что точка пересечения прямых l₁ и l₂ лежит на описанной окружности треугольника A₁OA₂.

   Решение

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B₁ и C₁, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B₂ и C₂. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B₁C₁ и B₂C₂.

   Решение

Докажите, что при инверсии с центром O прямая l, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O.

   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

   Решение

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

   Решение

По двум прямым, пересекающимся в точке P, равномерно с одинаковой скоростью движутся две точки: по одной прямой — точка A, по другой — точка B. Через точку P они проходят не одновременно. Докажите, что в любой момент времени описанная окружность треугольника ABP проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от P.

   Решение

Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.

   Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO₁ = OO₂.

   Решение

Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 4 часа 12 минут?

   Решение

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

  а)  d(0) + d(1)x + d(2)x² + ...  =  (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

  б)  l(0) + l(1)x + l(2)x² + ...  =  (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

   в)  d(n) = l(n)   (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что  d(0) = l(0) = 1.)

   Решение

Дан треугольник ABC и такая точка F, что  ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA.  Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A₁. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E₁; продолжения сторон BC и DE – в точке A₁. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE₁C, пересекает ω в точке B₁; аналогично определяется точка D₁. Докажите, что  B₁D₁ || AE.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω₁ и ω₂ по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что S_AOB + S_COD ≤ 2(S_AOD + S_BOC).

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и такая точка F, что  ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA.  Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A₁. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]