Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]

Задача 64397 (#9.5)

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ясинский В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что BK : CK = FS : ES.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64398 (#9.6)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Авторы: Швецов Д.В., Зайцева Ю., Соколов А.

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ω_a с центром I_a касается стороны BC в точке A₁ и прямых l и AC. Окружность ω_c с центром I_c касается стороны BA в точке C₁ и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A₁BC₁ лежит на прямой I_aI_c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64399 (#9.7)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром O пересекает ω₁ в точках A и B, а ω₂ – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64400 (#9.8)

Темы:	[	Задачи на движение	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Протасов В.Ю.

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64401 (#10.1)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 3+

Автор: Ясинский В.

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC (AB > AC) и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что A₁P = A₁Q. Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 47]