Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]

Задача 64592

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Звонкин Д.

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину (P, Q). Докажите, что (P, Q) = (Q, P).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64608

Темы:	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64610

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64614

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64615

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]