Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также  AD = BE = CF.  Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

   Решение

---

На плоскости даны две перпендикулярные прямые. С помощью кронциркуля укажите на плоскости три точки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника. Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах у него две иголки. Он позволяет переносить одинаковые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать) окружности, дуги окружностей и делать засечки.

   Решение

---

На прямой отмечено четыре точки и ещё одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 46]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65860

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Взяли пять натуральных чисел и для каждых двух записали их сумму.
Могло ли оказаться, что все 10 получившихся сумм оканчиваются разными цифрами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65874

Темы:   [ Системы линейных уравнений ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Системы алгебраических неравенств ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На трёх красных и трёх синих карточках написаны шесть положительных чисел, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то трёх чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же трёх чисел. Всегда ли можно гарантированно определить эти три числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66099

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается (в десятичной записи) на 2016 и делится на 2017.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65861

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На прямой отмечено четыре точки и ещё одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65862

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На окружности отмечено 100 точек. Эти точки нумеруются числами от 1 до 100 в некотором порядке.
  а) Докажите, что при любой нумерации точки можно разбить на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были нечётны.
  б) Верно ли, что при любой нумерации можно разбить точки на пары так, чтобы отрезки, соединяющие точки в парах, не пересекались, а все суммы в парах были чётны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 46]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями